3. 环、域与多项式基础

了解一些基础的代数结构及其基本性质。

1. 环、域的介绍

一个环是指资料 $(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$ ，其中 $R$ 为集合， $0_{R}, 1_{R} \in R$ ， $+, \cdot$ 都是 $R$ 上的二元运算，满足：

（加法交换律） $x + y = y + x$
（加法结合律） $(x + y) + z = x + (y + z)$
（零元） $x + 0_{R} = x = 0_{R} + x$
（负元） $\forall x$ ，存在 $- x$ 使 $x + (- x) = 0_{R}$
（乘法结合律） $(x y) z = x (y z)$
（单位元） $x \cdot 1_{R} = x = 1_{R} \cdot x$
（乘法对加法的分配律） $(x + y) z = x z + y z, x (y + z) = x y + x z$

因为运算满足绝大多数我们通常了解的性质，我们也会在这里使用通常使用的记号，比如 $n \cdot r = (n - 1) \cdot r + r$ 。

在不混淆零元、单位元和加法、乘法运算时，我们也可以只用 $R$ 来指代环。

若 $1_{R} = 0_{R}$ ，此时称环为零环，容易发现环中仅一个元素。否则恒有 $1_{R} \neq 0_{R}$ ，否则 $x = x \cdot 1_{R} = x \cdot 0_{R} = 0_{R}$ ，最后一个等号由 $x \cdot 0_{R} = x \cdot (0_{R} + 0_{R}) = x \cdot 0_{R} + x \cdot 0_{R}$ ，两侧取负元即得。

如果 $R$ 的子集 $R^{'}$ 包含 $0_{R}, 1_{R}$ 且对加法和乘法运算封闭，称 $R^{'}$ 为 $R$ 的子环。

注意环的乘法不一定满足交换律，为了描述环中交换律的适用性，我们定义环的中心

Z (R) := {z \in R | \forall x \in R : z x = x z}

容易证明 $Z (R)$ 是 $R$ 的子环，并且当 $Z (R) = R$ 时，乘法交换律在 $R$ 上成立，称 $R$ 为交换环。

有的时候，环中会存在一些不是 $0_{R}$ 的零因子，即可能存在 $a, b \neq 0_{R}, a b = 0_{R}$ 。

称不存在零因子的交换环为整环，即它满足性质 $x, y \neq 0_{R} \Rightarrow x y \neq 0_{R}$ 。容易发现整环满足乘法的消去律。

在环中另外一个不一定存在的元素是逆元：若对于 $x \in R$ ，存在 $x^{- 1} \in R$ ，使得 $x x^{- 1} = 1_{R} = x^{- 1} x$ ，则称 $x^{- 1}$ 为 $x$ 的逆元， $x$ 是可逆的。

取出 $R$ 中所有可逆的元素得到 $R^{\times}$ ，注意这并不一定是一个环。

若 $R^{\times} = R - 0_{R}$ ，称 $R$ 为除环（ $0_{R}$ 若可逆则为零环，这是平凡的，予以排除）。交换除环叫做域。与上面的约定类似，如果域的子环也构成域，称其为域的子域。

注意，有限的整环一定是域。这是因为对于整环 $R$ 中任意一个元素 $r$ ，构造环上的映射 $f : x \to r x$ ，则由于整环中无零因子，该映射为单射；又因为环是有限的，进一步得到映射为双射。因此一定存在一个 $x$ 使得 $r x = 1_{R}$ ，即 $x$ 为 $r$ 的逆元。于是 $R$ 是交换除环，是域。

一直到这里我们都在讨论抽象的概念，这里我们举一些具体的例子。

复数集 $C$ ：这是域。
实数集 $R$ ，有理数集 $Q$ ：都是域，并且 $Q, R, C$ 三者前者都是后者的子域。
四元数集 $H$ ：这是非交换除环的一个典型例子。
环 $R$ 上的 $n$ 阶方阵构成一个非交换环。
整数集 $Z$ 构成一个交换整环。
模意义下的同余类 $Z / n Z$ 是有限环的一个例子；它是整环当且仅当它是域，且仅在 $n$ 为素数时得到。这样得到的有限域记为 $F_{p}$ 。
设 $D \in Z, D \neq 0, 1$ ，考虑 $Q (\sqrt{D}) := {a + b \sqrt{D} | a, b \in Q}$ 与 $Z [\sqrt{D}] := {a + b \sqrt{D} | a, b \in Z}$ ，它们分别被称为二次域与二次整环。请注意我们同时使用不同的括号来区别两者的性质。

环的直积：简单来说，就是对于 $n$ 个环，我们考虑把每个环的元素依次放到一个 $n$ 元组上（Cartesius 积），每个分量按照原来环上的方式运算即可。用 $R \times R^{'}$ ， $\prod_{i} R_{i}$ 这样的符号来表示直积。

环同态：简单来说，就是映射保持了环的运算。

设 $f : R \to R^{'}$ 为两个环之间的映射。称 $f$ 为环同态，如果 $f$ 满足：

$f (x + y) = f (x) + f (y)$
$f (x y) = f (x) f (y)$
$f (1_{R}) = 1_{R^{'}}$

根据上面的性质容易说明 $f$ 也保持了零元、负元、逆元，这里不再列在定义里面。

若 $R^{'} = R$ ，也称 $f$ 是一个自同态。恒等映射显然为自同态。

另外， $f (R)$ 自然为 $R^{'}$ 的子环；如果 $R^{'}$ 存在子环，取包含映射，该映射也自然为同态。

两个同态的合成显然也为同态。

若 $f$ 为双射，此时称 $f$ 为环同构，记为 $f : R \tilde{\to} R^{'}$ ， $R ≃ R^{'}$ 。实际上这种条件下可以认为两个环就是等价的，没有任何区别。

作为一个简单应用，我们给出中国剩余定理的抽象描述（不含计算方法）。

设 $N = n_{1} \dots n_{k}$ ，其中 $n_{1}, \dots, n_{k}$ 两两互素，则有环同构

Z / N Z ≃ \prod_{i = 1}^{n} Z / n_{i} Z

思路是先考虑每一个 $Z / n_{i} Z$ ，容易发现有自然的同态 $Z / N Z \to Z / n_{i} Z$ ，根据直积每个分量独立，即可得到同态 $f : Z / N Z \to \prod_{i = 1}^{n} Z / n_{i} Z$ 。由于两侧元素个数相同，只需证明是单射即可。

设 $Z / N Z$ 中元素 $x, y$ 满足 $f (x) = f (y)$ ，在每个分量上都得到 $n_{i} | x - y$ ，由两两互素，相乘即得 $N | x - y$ ，于是 $x = y$ ，单射性得证。于是 $f$ 是环同构。

域上的同态一定为单射；如果有 $φ (x) = φ (y)$ ，则 $φ (x - y) = 0_{F}$ ，由于同态保持可逆元，域上的每个元素都可逆，必然有 $x = y$ 。

2. 多项式与多项式函数的介绍

我们定义非零环 $R$ 上的多项式

f (X) = \sum_{n \geq 0} a_{n} X^{n}

其中 $a_{n} \in R$ ，且仅有有限个 $a_{n}$ 非零（运算的有限性）。理论上上 $X$ 仅是一个记号，但是按照常规方式理解更加方便。

称两个多项式相等，当且仅当每一项系数相等；多项式的 $n$ 次项系数，首项，常数项，次数等依照常识定义。需要注意的是一般定义零多项式（简单记作 $0$ ）的次数为 $- \infty$ 。

我们自然赋予加法和乘法运算：

\sum_{n \geq 0} a_{n} X^{n} + \sum_{n \geq 0} b_{n} X^{n} = \sum_{n \geq 0} (a_{n} + b_{n}) X^{n}

(\sum_{n \geq 0} a_{n} X^{n}) (\sum_{n \geq 0} b_{n} X^{n}) = \sum_{n \geq 0} (\sum_{\begin{array}{r} i, j \geq 0 \\ i + j = n \end{array}} a_{i} b_{j}) X^{n}

容易验证这些多项式构成环，记作 $R [X]$ 。

若 $R$ 为交换环，则 $R [X]$ 也交换；若 $R$ 为整环，则有 $\deg (f g) = \deg f + \deg g$ ， $R [X]$ 也为整环。（这两个性质都容易拓展到多元情形上，之后不再赘述）

我们也可以将多项式的定义扩展到多元的情形上去：

f (X, Y, \dots) = \sum_{x, y, \dots \geq 0} a_{x y \dots} X^{x} Y^{y} \dots

这里需要注意，多元多项式真的可以很多元，甚至允许元的个数不可数；但是仍然要求 $a_{x y \dots} \in R$ ，且仅有有限个系数非零。我们可以研究无穷维的对象，但是在运算上需要满足有限性，这是代数的特点。对于每一项的次数，在无限个变元的条件下不是很容
易讨论（但是可以通过把环重写为有限个子环的并来实现，略）；对有限个变元的情形，若每一项的次数和为定值，称该多元多项式是齐次的，相应定义它的次数。

加法和乘法按照常识定义，记其构成的环为 $R [X, Y, \dots]$ 。

如果每次选定一个主元，那么我们自然得到同构（以两个变元为例） $R [X, Y] ≃ (R [X]) [Y]$ 。注意多项式中仅有有限项使我们能够自由地做这件事。

对于交换环，我们能够方便地代入变元对多项式进行求值（不交换的情形下多项式乘法的定义会有问题），这就得到了多项式函数；而如果我们考虑将多项式“代入”多项式函数，我们就得到了多项式的复合。

需要注意，多项式与多项式函数并非等价，一个经典的例子是考虑域 $F_{p}$ 上的多项式 $X^{p} - X$ ，由于 Fermat 小定理它的取值恒为零，但它本身并不是零多项式。

3. 一元多项式的带余除法

对于一元多项式，我们有众所周知的带余除法：

设 $F$ 为域，则对于任意 $a, d \in F [X], d \neq 0$ ，存在唯一的 $q, r \in F [X]$ 使 $a = d q + r, \deg r < \deg d$ 。

证明大致是取 ${a - d q}$ 中 $\deg$ 最小的元素为 $r$ ，讨论较繁琐，略去。

（这里 $F$ 为域的条件可以弱化为 $R$ ，但是要求 $d$ 的最高次项系数 $\in R^{\times}$ ，以避免奇怪的 $0_{R}$ 的出现；不过我们不常对 $R$ 上的多项式进行这样的讨论）

以上若 $r = 0$ ，称多项式 $d$ 整除 $a$ ，记作 $d | a$ 。

称多项式有根 $a$ ，当且仅当 $f (a) = 0_{F}$ 。对于交换环 $R$ ，定义是相同的。

带余除法的基本应用是所谓的余式定理：如果多项式 $f$ 有根 $a$ ，那么做多项式除法 $f = (X - a) q + r$ ，代入 $X = a$ 即得 $r = f (a)$ 。于是 $(X - a) | f$ 等价于 $f (a) = 0$ 。

由此容易得到 $F$ 上的非零多项式 $f$ 至多有 $\deg f$ 个根；多项式的根会在之后进行进一步讨论。

4. 整环的分式域

环中的元素并不总是有逆元。回忆整数集 $Z$ ，为了构造逆元，我们将其扩张为 $Q$ 。一般地，对于整环 $R$ ，我们用一模一样的手法定义形式商 $Ratio (R)$ ，附加等价关系 $\sim$ 及加法乘法运算可以得到它的分式域 $Frac (R) = Ratio (R) / \sim$ 。事实上我们就有 $Frac (Z) = Q$ 。

具体的操作流程略；形式商的等价性中间需要一步乘法消去律，因此要求 $R$ 是整环。

某种意义上，构造分式域是将整环扩充为域的最优解；可以认为，它只引入了必要的，需要保持域中逆元存在的元素。

用抽象的方式来讲，设 $R$ 为整环， $F$ 为域，且 $R$ 为 $F$ 的子环，保证 $F$ 中所有元素都可以写为 $f g^{- 1}$ 的形式（ $f, g \in R$ ）。则存在唯一的环/域同构 $Φ$ 使如下交换图成立（ $ι$ 为包含映射）：

证明并不困难，先考虑 $R$ 中元素得到 $Φ (f) = f$ ，进一步证明 $Φ (f / g) = f g^{- 1}$ 即可，细节略。

利用分式域，我们可以得到有理函数（实际上并非函数）的概念：

$Frac (F [X, Y, \dots]) = F (X, Y, \dots)$ 为以 $X, Y, \dots$ 为变元的有理函数域，它包含子环 $F [X, Y, \dots]$ 。

一个直观的认识是， $Frac (F [X]) = Frac (F) (X)$ 。

一元有理函数也可以相同地定义次数为分子的次数减去分母的次数，容易验证

$\deg (h_{1} h_{2}) = \deg h_{1} + \deg h_{2}$
$\deg (h_{1} + h_{2}) \leq max (\deg h_{1}, \deg h_{2})$

作为分式域的一点应用，我们将前面根的个数的定理拓展到整环 $R$ 上：整环 $R$ 上的非零多项式 $f$ 至多有 $\deg f$ 个根。

操作非常简单，我们将 $R$ 嵌入到域 $Frac (R)$ 上，则它在域上至多有 $\deg f$ 个根，在环上的根自然不会更多。

5. 多项式函数的讨论

在先前我们指出，多项式与多项式函数并非等价。但是实际上如果条件得当，我们仍然可以将多项式看做函数。

我们考虑交换环上 $n$ 元多项式到其函数的映射 $F$ ，则 $F$ 保持加法和乘法。容易发现，我们希望 $F$ 是单射即 $F (f) = F (g) \Rightarrow f = g$ ，由加法保持得到我们只需验证 $F^{- 1} (0_{f}) = {0}$ ， $0_{f}$ 表示零函数。

我们有下面的定理：

设 $R$ 为整环，多项式元数 $n \in N_{+}$ ，则 $F$ 为单射当且仅当 $R$ 无限。

证明：首先， $R$ 有限时考虑多项式 $\prod_{r \in R} (X_{1} - r)$ 即可。若 $R$ 无限，由于我们限制了 $n$ 为正整数，可以使用数学归纳法证明 $F (f) = 0_{f}$ 时 $f = 0$ 。

$n = 1$ 时，由于整环 $R$ 上的非零多项式 $f$ 至多有 $\deg f$ 个根，显然只能 $f = 0$ 。

$n$ 更大的时候，使用“主元法”，利用形如 $R [X, Y] ≃ (R [X]) [Y]$ 的关系，每次可以得到所有的“系数项”（剩余 $n - 1$ 元的部分）全部为 $0$ ，于是自然转化为 $n - 1$ 元的情形。

进一步，我们有如下结论（代数等式的延拓原理）：

设 $f, g_{1}, \dots, g_{m}$ 都为无穷整环 $R$ 上的多元多项式 $R [X_{1}, \dots, X_{n}]$ 。则：

若 $f = 0$ 在所有 $g_{i} \neq 0$ 成立时成立，则 $f = 0$ 在所有情况下都成立。

证明思路是构造 $f \prod_{i = 1}^{m} g_{i}$ ，使用上面的定理即得。

6. 整环、域的特征

我们已经有了 $F_{p}, R$ 这样的域，它们的性质很不相同。具体地，在 $F_{p}$ 中，有“到零”的性质（注意以下 $p \in N_{+}$ ）

p x = (p \cdot 1_{F}) x = 0_{F} \cdot x = 0_{F}

但是对于 $R$ ，不存在这样的 $p \in N_{+}$ 。这与有限的关系并不大；考虑 $F_{p}$ 上的有理函数域，它也有相同的性质。我们来仔细描述一下这个性质。

首先，对于任意一个环 $R$ ，容易验证存在唯一的 $Z \to R$ 的环同态，它将 $n$ 映为 $n \cdot 1_{R}$ 。

我们要关注的是所有到 $0_{R}$ 的位置，于是定义 $K_{R} = {n \in Z | n \cdot 1_{R} = 0_{R}}$ ，显然有 $0 \in K_{R}$ 。

由于当 $n, m \in K_{R}$ 时有 $n + m \in K_{R}$ ，我们取 $K_{R}$ 中的最小正整数 $g$ （如果存在的话），那么有 $K_{R} = g Z$ 。如果不然，我们容易构造出更小的正整数产生矛盾。

特别地，如果 $R$ 为整环，对于上面的讨论，一定有 $g$ 为素数。因为如果能做到 $g = p q$ ，则 $g \cdot 1_{R} = (p \cdot 1_{R}) (q \cdot 1_{R}) = 0_{R}$ ，由于整环无零因子，一定有 $p \cdot 1_{R} = 0_{R}$ 或 $q \cdot 1_{R} = 0_{R}$ 。因此当 $g$ 不为素数时，都将导出矛盾。

基于如上考虑，我们正式定义整环的特征：

设 $R$ 为整环，则存在唯一 $char (R) \in N$ 使得 $\forall n \in Z$ 有 $n \cdot 1_{R} = 0_{R} ⟺ char (R) | n$ 。 $char (R)$ 称为整环的特征，它只能为 $0$ 或素数。

注：这里的整除 $x | y$ 理解为 $y \in x Z$ ，于是有 $0 | 0$ 。

前面已经推导过 $p x = 0_{R}$ ，由此容易得到交换整环上 $(x + y)^{p} = x^{p} + y^{p}$ 这样的性质。

子环会遗传环的特征：若 $R_{0}$ 为整环 $R$ 的子环，则 $char (R_{0}) = char (R)$ 。这实际上是显然的，因为我们规定了子环的单位元与零元与原来的环一致。

一般来说最常用的还是域的特征，我们做一点讨论。

不同特征的域难以直接沟通。具体来说，两个不同特征的域之间不存在环同态。考虑 $1_{F}, 0_{F}$ 的对应这基本上是显然的。

对于相同特征的域，一个想法是我们可以考虑找到它们之间的共同点。

按照特征的定义，对于一个域 $F$ ，我们从 $1_{F}$ 出发进行运算。

特征为 $0$ 时，容易验证 $n \cdot 1_{F}$ 两两不同，它们之间进行运算得到与 $Q$ 相同的结构。具体地，有嵌入

Q ↪ F : \frac{a}{b} \to (a \cdot 1_{F}) (b \cdot 1_{F})^{- 1}

特征为 $p$ 时，相同地得到

F_{p} ↪ F : n + p Z \to n \cdot 1_{F}

相反地，如果 $Q$ 或者 $F_{p}$ 能够嵌入成为子域，那么也能得到相应的域的特征为 $0, p$ 。

以上生成的域称为 $F$ 的素域，它是 $F$ 的最小的子域。